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LOI DU CRENEAU DEFENSIF

Section 3

La valeur défensive de base à l'atout à partir du créneau

Nous avons précédemment mis en évidence que la valeur défensive effective à l'atout adverse représente forcément une certaine part du créneau total d'honneur C .

Dés lors la formulation la plus générale de la valeur défensive VD à partir de la loi du créneau peut s'écrire ainsi :

VD = X% x C = X% x (18 - A)

Tout le problème de l'évaluation défensive à l'atout consiste donc théoriquement à tenter de déterminer la valeur approximative de la variable inconnue X . Mais il est clair que sur le plan pratique, il est exclu de manier mentalement des pourcentages, et il faudra donc raisonner en levées et ne pas aller dans la précision au delà de la demi levée .

La méthode la plus simple consiste à déterminer une VD de base dont le calcul fait appel à un pourcentage X très simple, celui de 50 % , c'est à dire la moitié du créneau, en prenant soin bien entendu, de définir les conditions précises dans lesquelles ce choix arbitraire à priori correspondra à une VD effective d'une assez grande exactitude .

En fonction de cette hypothèse le plus souvent virtuelle, la tâche de l'évaluateur consistera à s'efforcer de détecter en quoi les caractéristiques essentielles de la donne diffèrent des critères précis définis pour la donne de base . S'il parvient à mettre en évidence des écarts significatifs, il appliquera à la VD de base des correctifs algébriques positifs ou négatifs appropriés, selon que les écarts détectés jouent en faveur d'une majoration ou d'une minoration de la VD de base .

3 - 1 / - Définition des caractéristiques des donnes virtuelles de base en fonction du facteur A .

Ce sont toutes les donnes qui satisfont aux 4 conditions précises que nous avons déjà énumérées au point 2 - 2 - 3 / de la Section 2 , c'est à dire toutes celles où la distribution de la force d'honneur du camp déclarant est à peu prés équilibrée et homogène, et dont le créneau est à peu prés régulier , notamment en ce qui concerne l'anticolore .

La logique et le simple bon sens permettent d'affirmer qu'en pareils cas et sauf très rares exceptions, la valeur défensive à l'atout adverse doit être à peu prés égale à la moitié du créneau total d'honneur .

Pour s'en convaincre, il suffit de le vérifier sur quelques donnes construites sur mesure, en commençant par la donne dont la distribution couleur nous a servi à définir la notion de créneau total .

Donne ( A ) : Nord donneur - E/O vulnérable .

ADX54
R95
D3
R54
R76
V84
984
DV86
V9
ADX32
RX2
A32
832
76
AV765
V97

Cette donne ( A) est l'opposition de 2 côtés symétriques 8765 et satisfait aux contraintes que nous nous sommes imposées :

1- Chaque camp détient 20 points H , des Honneurs équivalents en nombre et en qualité, et et leur nombre est à peu près homogène en fonction des longueurs de couleur de côté .

2 - L'anticolore de chaque camp est régulier ( sans singleton ni chicane ) .

Les enchères classiques seront vraisemblablement les suivantes :

N E S O
1P X 2P - -
- - Passe

Sur l'entame logique d'Est du 9 de Pique, le contrat de 2P sera juste fait par le déclarant Nord .

Dans ce cas, on vérifie que l'application sans correctif par le camp E/O de la formule VD = O,50 x C = 5 levées défensives à l'atout Pique de Nord, c'est à dire un résultat exactement conforme à la réalité . Le créneau total offert à E/O est en effet ici de 10, dont 7 pour le sous-créneau d'anticolore et 3 pour le sous-créneau d'atout . On observe d'autre part, que le camp de la défense E/O dispose en matière de localisation de ses Honneurs, de 2 cas favorables ( 1 à Coeur et 1 à Trèfle ), et de 2 cas défavorables ( le Roi de Pique et le Roi de Carreau sont pris en impasse ) . Cette ultime aspect de la donne ( A ) lui confère un équilibre d'ensemble qui atteint la perfection , ce qui explique en toute logique, que la formule VD = C x 0,50 se vérifie expérimentalement sans la moindre erreur .

Si on inversait la vulnérabilité ( N/S vulnérable au lieu de E/O ), il est probable qu'Est interviendrait par 2C et que Ouest soutiendrait compétitivement jusqu'à 3C, contrat final .

Dans ce cas, la formule sans correctif donnerait pour le camp N/S à l'atout Coeur d'Est : VD = ( 18 - 8 ) x 0,50 = 5 levées, et on vérifierait qu'effectivement Est serait limité à 8 levées pour 1 de chute . En l'occurrence bonne défense d'E/O contre 2P faits pour 110, à comparer à - 50, ou au pire à - 100, si 3C étaient contrés par N/S, mais un tel contre pour un de chute doit être exclu car trop risqué . Il ne serait justifié que si la formule donnait au moins 2 levées de chute pour un espoir de gain de 300 points .

On observera que dans les 2 cas de figure, les levées totales sont au nombre de 16 ( 8 + 8 ) et que la valeur offensive de chaque camp se trouve être égale au nombre total de ses atouts propres, si on l'exprime en levées . Il n'en sera pas toujours ainsi .

On notera en outre, que le partage des atouts en N/S est 5/3 . Le créneau serait-il modifié en cas de partage 4/4 des Piques, toutes choses égales par ailleurs ( E et O identiques ), en gardant bien entendu les mêmes contraintes pour la donne ?

Voici les mains N/S de la donne ( B ) où nous introduisons un exemple (1) d' une telle modification :

ADX5
R95
D3
R75
R76
V84
984
DV86
V9
ADX32
RX2
A32
8432
76
AV76
V94

Le côté N/S reste 8765 et le créneau d'anticolore reste régulier, mais il s'accroît d'une unité : 3T + 3K +2C = 8 au lieu de 7 en donne ( A ) . Le créneau d'atout de 3 Piques en Ouest n'ayant pas changé, le facteur C total = 11 au lieu de 10, la formule VD = 0,5O x C va donner 5,50 levées défensives de base au lieu de 5 . Cependant dans cet exemple, la VD effective du camp E/O à l'atout Pique de N/S restera la même : 5 levées . L'erreur commise par la formule de base de la VD est dans ce cas très limitée : une demi levée par excès . On notera qu'en ce qui concerne les localisations d'Honneurs, 2 sont favorables à N/S, une à Pique et une à Carreau, tandis que 2 sont favorables à E/O, une à Trèfle et une à Coeur .

Que deviendrait le créneau défensif d'E/O si les atouts Pique de N/S étaient partagés 6/2 toutes choses égales par ailleurs ?

La donne B ( bis ) ci-dessous va nous permettre de le vérifier :

ADX532
R5
D3
R75
R76
V84
984
DV86
V9
ADX32
RX2
A32
84
976
AV765
V92

On voit que le créneau défensif d'E/O à l'atout Pique de Nord est ici égal à 10 : Toujours 3 (à P) + 2 (à C) + 2 (à K) + 3 (à T) = 10 , ce qui donne une VD théorique de base de 5 . En fait, la VD réelle d'E/O ne sera que de 4 levées, soit une erreur par excès d'une levée commise par la formule . Cela vient du fait que la présencede 6 atouts Pique chez le déclarant Nord lui procure une plus-value DHL d'une levée . Par ailleurs, les localisations d'Honneurs restent bien équilibrées : 2 favorables sur 4 dans chaque camp .

Selon le partage de l'atout Pique de N/S, le bilan est le suivant, en ce qui concerne la VD du camp E/O :

Partage atout Pique
 
Erreur commise par la
formule: VD = C x O,50
5 / 3 Aucune
4 / 4 0,5 levée par excès
6 / 2 1 levée par excès
7 / 1 2 levées par excès

* Nous ne présentons pas les donnes correspondantes mais elle sont possibles et nous en avons vérifié les résultats avec équilibre dans les localisations d'honneur .

Prenons maintenant un exemple (2) de cette modification avec la donne C ci-dessous :

ADX5
965
D3
RX54
V76
V84
R98
D876
R9
ADX32
V42
AR2
8432
R7
AV765
V9

Les 2 côtés demeurent 8765, mais le créneau d'E/O à l'atout Pique de Nord ne compte plus que 9 unités, dont 6 pour le sous-créneau d'anticolore au lieu de 7, d'où une VD de base de 9 x 0,50 = 4,50 levées défensives .

Et cependant, le camp E/O ne réalisera effectivement que 4 levées . Bien que ses 2 Rois de Carreau et de Pique soient favorablement placés pour lui, il n'encaissera que le Roi de Pique, le Roi de Carreau, l'As de Coeur et l'As de Trèfle . Ici, c'est la pénurie de cartes intermédiaires à Trèfle du camp E/0 qui l'empêche de réaliser une seconde levée dans cette couleur .

Prenons enfin un exemple (3) fourni par la Donne D ci-dessous :

ADX5
965
D3
RV54
R76
V84
982
A876
V9
ADX32
RX4
D32
8432
R7
AV765
X9

Cette donne D respecte bien elle aussi les contraintes imposées : forces H respectives équilibrées et homogènes, et créneau régulier . Les 2 côtés opposés demeurent bien du type 8765 comme dans les variantes précédentes .

1° - Au contrat de 2P joué par Sud, le créneau défensif du camp E/O = 9 d'où l'on déduit théoriquement une VD de base de 9 x 0,50 = 4,50 levées défensives . Mais en réalité, on constatera que la VD effective d'E/O avec un jeu de la carte optimal du déclarant Sud, se limitera à 3 levées seulement : As de Coeur, As de Trèfle et le plus souvent le 8 de Trèfle d'Ouest . Dans cet exemple, l'erreur par excès commise par la formule est de 1,50 levée défensive .

Pourquoi ? Parce que nous avons délibérément arrangé la localisation des honneurs la plus favorable possible au profit du déclarant Sud . Et en effet :

- Le Roi de Pique d'Ouest, le Roi de Coeur de Sud, le Roi de Carreau d'Est, et enfin le Roi de Trèfle de Nord, sont tous les quatre localisés au profit exclusif du déclarant

2° - Si l'on suppose un contrat à l'atout Coeur joué par Est, le créneau défensif du camp N/S ressort à : 2 ( à P ) + 3 ( à K ) + 3 ( à T ) + 3 ( à l'atout C ) = 11 , ce qui conduit à la VD de base théorique N/S de : 11 x 0,50 = 5,50 levées défensive . Or en réalité, un jeu de la carte optimal en N/S lui permettra d'encaisser 7 levées défensives effectives . Dans cette hypothèse de contrat, la formule commet une erreur par défaut de 1,50 levée également .

***

En ce qui concerne la localisation plus ou moins favorable des Honneurs au sein d'une donne équilibrée homogène et à créneau régulier, le bilan est le suivant :

Cas de localisations
 
Erreur commise
en levées par
VD = C x 0,50
2 défavorables sur 4 Aucune erreur
2 favorables sur 4 Aucune erreur
4 favorables sur 4 Erreur par défaut de - 1,5
4 défavorables sur 4 Erreur par excès de + 1,5
3 favorables sur 4 Erreur par défaut de - 0,5
3 défavorables sur 4 Erreur par excès de + 0,5

NB : * Il s'agit évidemment des cas de localisation d'un honneur intermédiaire : Roi ou Dame essentiellement . A priori, c'est à dire après la distribution des cartes, mais avant que les joueurs prennent connaissance de leurs 13 cartes, et en considérant qu'il y a un honneur dans chacune des 4 couleurs qui peut être favorablement ou défavorablement positionné, l'analyse combinatoire démontre qu'il y a 22 combinaisons différentes de cas de localisation au total, dont les probabilités trés inégales sont les suivantes :

Cas de localisation Nombre de combinaisons
2 favorables sur 4 6 sur 22
2 défarorables sur 4 6 sur 22
3 favorables sur 4 4 sur 22
3 défarorables sur 4 4 sur 22
4 favorables sur 4 1 sur 22
4 défarorables sur 4 1 sur 22

En termes d'EMT, on peut alors calculer que l'erreur moyenne au titre du positionnement d'honneur sera à priori de l'ordre de + ou - 0,318 levée en supposant que l'on ne puisse absolument rien présumer à cet égard .

Dans cette hypothèse virtuelle de travail, on notera que la plus grande erreur possible ( + ou - 1,50 levée quand 4 cas sur 4 sont favorables ou défavorables ), n'a que 9,09 % de chances de se produire, alors que plus de 9 fois sur 10, l'erreur sera nulle ou de + ou - 0,50 levée .

Cependant, l'erreur moyenne commise à l'issue de la phase des enchères sera le plus souvent inférieure à + ou - 0,318 levée : plutôt de lordre de + ou - 0,20 levée . C'est ce que démontre en pratique les donnes commentées de notre Section 6, et cela vaut mieux que les calculs les plus savants :

3 - 3 / - Concernant les donnes équilibrées homogènes et régulières, où le facteur A est égal à 8, les simulations qui précèdent permettent de dégager les conclusions suivantes :

3 - 3 - 1 / - L'incidence de la localisation respective des Honneurs semble générer les écarts les plus importants par rapport à la formule de base VD = C x 0,50 .

Nous avons constaté en effet, que par rapport à l'exactitude obtenue avec 2 localisations favorables sur 4, les erreurs extrêmes peuvent aller de - 0,50 à + 1,50 levée sur une plage de 2 levées .

Certes, il n'est pas toujours possible de détecter sans erreur à la table, dans les conditions réelles d'une partie de bridge, cette localisation respective des Honneurs . Mais il faut relativiser ce risque d'erreur potentielle indéniable en fonction de la probabilité des cas, c'est à dire calculer l'espérance mathématique totale ( EMT ) de levées de défense . C'est l'objet du Tableau ci-dessous :

Calcul de l'EMT d'erreur due à la localisation des Honneurs .

Type de localisation Honneurs *
 
Probabilité du type (2)
localisation Honneurs
Erreur commise (3)
en levées
 
Erreur moyenne = (2) x (3)
en levées
2 sur 4 0,5454 Aucune Néant
2 sur 4 0,3636 + ou - 0,5 + ou - 0,1818
4 sur 4 0,0909 + ou - 1,5 + ou - 0,1363
Total = 1 (100 %) EMT =
 
+ ou - 0,3187
 

* Cas favorables ou défavorables

Conclusion : L'erreur moyenne est de l'ordre de + ou - 1 tiers de levée .

Remarques essentielles

Le tableau ci-dessus montre que la probabilité des 2 évènements extrêmes entraînant une erreur de + ou - 1,50 levée sur la VD de base est inférieure à 10 % . Il serait de ce fait presque permis de la négliger sans trop d'état d'âme, car tous les autres cas de figure sont très majoritaires avec plus de 90 % .

Ramenée à cette majorité de cas, on peut calculer que la formule de base des levées défensives commettrait en moyenne une erreur limitée à : + ou - 0,20 levée, c'est à dire de l'ordre de + ou - 1 cinquième de levée , au titre des localisations d'Honneur .

3 - 3 -2 / - L'incidence liée aux divers partages de l'atout dans le camp déclarant est deux fois moindre.

Le calcul de l'EMT aboutit à + 0,389 levée par excès, mais si l'on écarte de ce calcul les partages extrêmes 7 / 1 et 8 / 0, l'erreur par excès n'est plus que de + 0,3456 levée, ce qui est très proche de + 1 tiers de levée , ce qui veut dire en fait + ou - 1 sixième de levée .

***

Conclusions :

1° / - Dans les donnes équilibrées, homogènes et régulières, où le total des atouts du camp déclarant est de 8 cartes, les deux sources d'erreur sur la VD que nous venons d'analyser, à savoir le partage des atouts déclarants et les positions d'Honneurs, peuvent entraîner en moyenne une surévaluation de la VD de base de l'ordre de + 0,70 levée .

Mais en pratique, c'est à dire dans l'immense majorité des cas, cette surévaluation de la VD n'excèdera pas 2 tiers de levée .

Enfin, le pire n'étant jamais certain, il serait pour le moins excessif de supposer que le défenseur évaluateur se trompera systématiquement à propos de l'incidence présumable des 2 facteurs aléatoires que nous venons d'analyser . S'il sait décrypter correctement les enchères, ce ne sera pas le cas, d'autant moins qu'il peut y avoir compensation partielle des erreurs de jugement commises .

2° / - Dans ces mêmes types de donnes, des analyses similaires montreront qu'un atout de plus dans le camp déclarant entraînera à très peu près sur la VD de base une minoration d'une levée , en tenant compte des plus-values de points L du déclarant de + 0,33 levée par atout supplémentaire à partir de 9 .

En fait, le calcul de la VD de base donnera l'évolution suivante :

Pour 8 atouts déclarants, VD de base = 5 levées

Pour 9 atouts déclarants, VD de base = 4,17 levées : - 0,83 levée .

Pour 10 atouts déclarants, VD de base = 3,33 levées : - 1,67 levée .

Pour 11 atouts déclarants, VD de base = 2,50 levées : - 2,50 levées .

Pour 12 atouts déclarants, VD de base = 1,67 levée : - 3,33 levées .

Il ressort de cette échelle théorique que la perte de VD est uniformément de 5 sixièmes de levée par atout déclarant supplémentaire . Mais cette échelle ne tient pas compte :

- des plus-values de coupe en allonge dont bénéficiera le déclarant et qui en général lui vaudront en moyenne un minimum de + 0,33 levée supplémentaire ;

- des plus-values inhérentes à la longueur de la couleur d'atout dans le côté déclarant, qui lui vaudront en moyenne au moins + 0,33 levée par atout en plus à partir de 9 .

C'est pourquoi en pratique, le nombre des levées gagnées par le camp déclarant sera en moyenne égal au nombre de ses atouts moins 0,50 avec une précision de l'ordre de la demi levée . En clair, le déclarant fera juste son contrat ou le chutera d'une levée .

3° / - Probabilité à priori des camps déclarants à l'atout qui sont équilibrés, homogènes et réguliers .

a / - Probabilité des donnes équilibrées de 19 à 21 PH: # 20 % , déséquilibrées : 80 %.

b / - Probabilité des donnes à créneau défensif régulier :# 35 % , irrégulier : 65 % .

c / - Probabilité composée des donnes équilibrées à créneau régulier : 20 x 0,35 # 7 % .

Il s'agit de probabilités à priori . Ces indications montrent que dans 93 % des cas, la VD de base égale à C x 0,50 méritera des correctifs à un titre ou à un autre .

Quels correctifs ? C'est ce que nous nous efforcerons d'analyser dans la Section 4 . D'ores et déjà, on pressent qu'ils seront relatifs aux critères complémentaires ci-après :

1er critère : Déficit ou excédent de points d'honneur par rapport à l'équilibre . Dans ce cas, le camp de la défense aura de bonnes raisons de présumer qu'il détient soit moins de 19 PH, soit plus de 21 PH .

2ème critère : Présomption ou certitude que le créneau défensif doit être irrégulier .

3ème critère : Présomption que la distribution de la force d'honneur en fonction de la longueur de côté d'une ou plusieurs couleurs doit être hétérogène . Ce dernier critère est en partie lié au 1er et au 2ème . Il s'agira en effet, quand on le pourra, d'apprécier le degré d'utilité et d'efficacité défensive des honneurs détenus par le camp de la défense .

A cet égard, il est bon de savoir que la probabilité à priori d'une distribution homogène est de 79 %, soit 21 % seulement pour une distribution hétérogène de la force d'honneur .

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